Question

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1-an}是等比数列；（2）求数

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1-an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若数列{bn}的首项b1=1，且满足4nbn+1＝(an+1)2bn(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和为Sn．

Answer 1

（1）证明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）…（2分）∵a₁=1，a₂=3∴a₂-a₁=2≠0
∴{a_n+1-a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．  …（4分）
（2）解：由（I）得a_n+1-a_n=2ⁿ  …（5分）∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，…（7分）
=2^n-1+2^n-2+…+2+1=2ⁿ-1…（9分）
（3）因为4bn+1＝(an+1)2bn(n∈N*)，
且由（II）知，b_n+1=b_n…（10分）
所以{b_n}是首项为1的常数数列           …（11分）
所以S_n=n（n∈N^*）…（13分）