Question

已知椭圆x2a2+y2b2＝1，(a＞b＞0)的离心率为32，点P（2，1）是椭圆上一定点，若斜率为12的直线与椭圆交于

已知椭圆x2a2+y2b2＝1，(a＞b＞0)的离心率为32，点P（2，1）是椭圆上一定点，若斜率为12的直线与椭圆交于不同的两点A、B．（ I）求椭圆方程；（ II）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

（ I）∵e＝

c

a

＝

3

2

，
∴c＝

3

2

a，b＝

1

2

a，
又P（2，1）在椭圆上，代入椭圆方程，
得：

4

a2

+

1

b2

＝1，
∴a²=8，b²=2，
椭圆方程为：

x2

8

+

y2

2

＝1…（6分）
（ II）设直线AB的方程为：y＝

1

2

x+m，
与椭圆联列方程组得，

y＝ 1 2 x+m x2 8 + y2 2 ＝1

，
代入得：2x²+4mx+4m²-8=0，…（8分）
∵△=16m²-8（4m²-8）＞0，
解得，-2＜m＜2
由韦达定理得：x₁+x₂=-2m，
x₁x₂=2m²-4|AB|＝

1+ 1 4

?

4m2?4(2m2?4)

＝

5

2

?

16?4m2

=

5

?

4?m2

P到直线AB的距离：d＝

|2m|

5

，…（12分）
S△PAB＝

1

2

?

5

?

4?m2

?

|2m|

5

＝

(4?m2)m2

≤2
当4-m²=m²，
即m＝±

2

时，
S_△PAB有最大值2     …（15分）