Question

（本小题满分15分）已知函数 （1）若函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围；（2）当 时，求 在

（本小题满分15分）已知函数 （1）若函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围；（2）当 时，求 在 上的最大值和最小值；（3）当 时，求证对任意大于1的正整数 ， 恒成立.

Answer 1

（1） ；（2） （3）

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用 （1）因为函数在给定区间x>1上单调递增，则说明导函数恒大于等于零，然后分离参数求解取值范围。 （2）把a=1,代入关系式中，求解导数，研究单调性，进而得到极值和端点值的函数值，然后比较大小得到最值。 （3）由（1）可知f(x)>f(1)恒成立，那么可知不等式关系式，然后结合放缩法得到结论。 解：（1）由已知得 ， 依题意得 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立， 而 （2）当 时， ，令 ，得 ， 若 时， ，若 时， ， 故 是函数在区间 上的唯一的极小值，也是最小值，即 ， 而 ， 由于 ，则 （3）当 时，由（1）知 在 上为增函数 当 ，令 ，则 ，所以 即 所以 各式相加得