已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐
已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，...
已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 ．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 ＝ ＋ 成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
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| （Ⅰ）  ；（Ⅱ）P( ，± )， x±y－ ＝0. |
| 试题分析：(Ⅰ) 先利用点到直线的距离公式求  ，再利用离心率求 ，最后利用参数的关系求 ；(Ⅱ)设点利用方程组消元后得根与系数关系，然后代入题中条件化简可求.试题解析：(Ⅰ) 设F(c，0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0， ∴O到l的距离为  ，由已知，得  ＝ ，∴c＝1．由e＝  ＝ ，得a＝ ，b＝ ＝ ． 4分（Ⅱ）假设C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有  ＝ ＋ 成立，设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则P(x 1 ＋x 2 ，y 1 ＋y 2 )． 由（Ⅰ），知C的方程为  ＋ ＝1．由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1． 由  ，消去x并化简整理，得(2t 2 ＋3)y 2 ＋4ty－4＝0．由韦达定理，得y 1 ＋y 2 ＝－  ，∴x 1 ＋x 2 ＝ty 1 ＋1＋ty 2 ＋1＝t(y 1 ＋y 2 )＋2＝－  ＋2＝ ，∴P( ，－ )．∵点P在C上，∴  ＋ ＝1，化简整理，得4t 4 ＋4t 2 －3＝0，即(2t 2 ＋3)(2t 2 －1)＝0，解得t 2 ＝  ．当t＝ 时，P( ，－ )，l的方程为 x－y－ ＝0；当t＝－ 时，P( ， )，l的方程为 x＋y－ ＝0．故C上存在点P( 
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