Question

设函数f（x）＝a²lnx —x²+ax，a＞0.（1）求f（x）的单调区间。（2）求所有的实数a

设函数f（x）＝a²lnx —x²+ax，a＞0.（1）求f（x）的单调区间。（2）求所有的实数a，使e—1≤f（x）≤e²对x属于［1，e］恒成立。 注：e为自然对数的底数。

Answer 1

f（x）＝a²lnx —x²+ax，a＞0.
f'(x)=a²/x-2x+a
=(-2x²+ax+a²)/x
=-(2x+a)(x-a)/x （x>0)
∵a>0,∴2x+a>0恒成立
f'(x)>0解得0<x<a,
f'(x)<0解得x>a
f(x)递增区间(0,a),
递减区间(a,+∞)
（2）
e—1≤f（x）≤e²对x属于［1，e］恒成立。

即f(x)的值域是[e-1,e²]的子集。
根据(1)
当0<a≤1时，x∈[1,e]时，
f(x)为减函数，
需f(x)max=f(1)=a-1≤e²
f(x)min=f(e)=a²≥e-1
∴√(e-1)≤a≤e²+1与0<a≤1矛盾。

当1<a<e时，
f(x)在[1,a)递增，在(a,e]上递减，
f(x)max=f(a)=a²lna≤e²
因1<a<e, 0<lna<1
∴a²lna≤e² 成立，
还需｛f(1)=a-1≥e-1 （*）
｛f(e)=a²≥e-1
(*)不成立

当a≥e时，f(x)在[1,e]上递增，
f(x)min=f(1)=a-1≥e-1
f(x)max=f(e)=a²≤e²
∴a=e