Question

已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax 2 ，（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在两个极值

已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax 2 ，（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，求a的取值范围；（3）若对f（x）定义域内的任意x，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）若a=1时，f（x）=ln（1+2x）-2x+x 2 ，∴ f′(x)= 2x(2x-1) 1+2x （ x＞- 1 2 ）． 当 x∈(- 1 2 ，0) ∪ ( 1 2 ，+∞) ，f′（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为 (- 1 2 ，0) 和 ( 1 2 ，+∞) ； 当 x∈(0， 1 2 ) ，f′（x）＜0，则f（x）的单调递减区间为 (0， 1 2 ) ； （2） f′(x)=2? 2a x 2 -(2-a)x 1+2x （ x＞- 1 2 ）． 由函数f（x）存在两个极值点，可知a≠2 ∵两个极值点都小于1，结合函数的定义域有 - 1 2 ＜ 1 a - 1 2 ＜1 ，解得 a＞ 2 3 综上， a＞ 2 3 且a≠2； （3）令t=2x，则原不等式等价于 ln(1+t)-t≤- 1 4 a t 2 t=0，满足题设； t≠0，有 ln(1+t)-t t 2 ≤- a 4 ∵ln（1+t）-t＜0恒成立 ∴ ln(1+t)-t t 2 ＜0 ∴0 ≤- a 4 ∴a≤0．