Question

数列{an}满足a1=0，an+1+an=2n，求数列{an}的通项公式______

数列{an}满足a1=0，an+1+an=2n，求数列{an}的通项公式______．

Answer 1

∵a_n+1+a_n=2n①，∴n≥2时，a_n+a_n-1=2（n-1）②
①-②可得a_n+1-a_n-1=2
∵a₁=0，a_n+1+a_n=2n，∴a₂=2
∴数列{a_n}奇数项组成以0为首项，2为公差的等差数列；偶数项组成以2为首项，2为公差的等差数列
∴a_n=

n?1，n为奇数 n，n为偶数

故答案为：a_n=

n?1，n为奇数 n，n为偶数

．

Answer 2

解法一：构造法
a(n+1)+an=2n
a(n+1)-(n+1)+½=-an+n-½=-(an-n+½)
[a(n+1)-(n+1)+½]/(an-n+½)=-1，为定值
a1-1+½=0-1+½=-½
数列{an -n+½}是以-½为首项，-1为公比的等比数列
an-n+½=(-½)·(-1)ⁿ⁻¹=½·(-1)ⁿ
an=n-½+½·(-1)ⁿ=½[2n+(-1)ⁿ-1]
n=1时，a1=½[2·1+(-1)¹-1]=0，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=½[2n+(-1)ⁿ-1]

解法二：先分别讨论奇数项、偶数项，再合并通项公式
a2+a1=2·1=2
a2=2-a1=2-0=2
a(n+1)+an=2n
a(n+2)+a(n+1)=2(n+1)
[a(n+2)+a(n+1)]-[a(n+1)+an]=a(n+2)-an=2，为定值
数列奇数项是以0为首项，2为公差的等差数列；偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列。
n为奇数时，an=0+[(n-1)/2]·2=n-1
n为偶数时，an=2+(n/2 -1)·2=n
写成统一的通项公式：
an=n-½·[1-(-1)ⁿ]=½[2n+(-1)ⁿ-1]

总结：
以上提供两种不同的方法求解本题。
解法一规律的发现有一定难度，但过程简捷；解法二是常规方法，容易理解，但过程较为繁琐。