Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有f(x1)?f(x2)x1?x2＞0．给出下列命题：①f（-3）=0；②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为______．（把所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

①∵y=f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x），又f（x+6）=f（x）+f（3），
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），即f（3）=f（-3）+f（3），
∴f（-3）=0，即①正确；
②∵f（-3）=0，∴f（3）=f（-3）=0，∴f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），
∴f（x）是以6为周期的函数，又f（-x）=f（x），
∴f（-x-6）=f（-6+x）
∴直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；
③∵当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＞0，
∴f（x）在[0，3]上是增函数，而y=f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）在[-3，0]上是减函数，又其周期为6，
∴函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，故③错误；
④由①③知，f（3）=f（-3）=0，f（x）在[0，3]上是增函数，∴[0，3]上只有一解为3，由对称性知，f（x）在[-3，0]只有一解为-3，
又其周期为6，∴f（x）在[3，6]上是减函数，在[6，9]上是增函数，在[-6，-3]上是增函数，在[-9，-6]上为减函数；
∵f（x）关于x=6对称，∴f（x）在[3，6]上只有一解为3，
∴由对称性知f（x）在[6，9]上只有一解为9，在区间[-6，-3]只有一解-3；
综上所述，只有四解，为-9，-3，3，9，故④正确．
∴所有正确命题的序号为①②④．
故答案为：①②④．