Question

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且an+1=2Sn+1（n∈N*）．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若cn=an?lo

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且an+1=2Sn+1（n∈N*）．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若cn=an?log9an（n∈N*），Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．

Answer 1

（1）由已知得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）．
又a₂=2S₁+1=2a₁+1=3=3a₁，所以a_n+1=3a_n（n∈N^*）
所以数列{a_n}是以1为首项，公比为3的等比数列．
（2）由（1）知a_n=3^n-1，于是cn＝3n?1log93n?1＝

n?1

2

?3n?1，于是Tn＝0+

1

2

?3+

2

2

?32+…+

n?1

2

?3n?1，
3Tn＝0?3+

1

2

?32+…+

n?2

2

?3n?1+

n?1

2

?3n，
相减得：?2Tn＝

1

2

?3+

1

2

?32+…+

1

2

?3n?1?

n?1

2

?3n＝

3 2 (1?3n?1)

1?3

?

n?1

2

?3n
解得：Tn＝

2n?3

8

?3n+

3

8

．