Question

已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin 2 θ=2．（1）求动点P的轨迹Q的方程

已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin 2 θ=2．（1）求动点P的轨迹Q的方程；（2）过点B的直线l与轨迹Q交于两点M，N．试问在x轴上是否存在定点C，使得 CM ? CN 为常数．若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）△APB中，由余弦定理得：AB| 2 =|PA| 2 +|PB| 2 -2|PA|?|PB|?cos2θ= |PA| 2 +|PB| 2 -2|PA|?|PB|?（1-2sin 2 θ）=|PA| 2 +|PB| 2 -2|PA|?|PB|+4|PA|?|PB|sin 2 θ  =（|PA|-|PB|） 2 +8=16，∴||PA|-|PB||=2 2 ，故点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线， 且 c=2，a= 2 ，∴b= 2 ，故双曲线方程为  x 2 -y 2 =2． （2）假设存在定点C（m，0），使得 CM ? CN 为常数，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x-2）， 代入双曲线方程得 （1-k 2 ） x 2 +4k 2 x-（4k 2 +2）=0，由题意知  k≠±1． ∴x 1 +x 2 = 4 k 2 k 2 -1 ，x 1 ?x 2 = 4 k 2 +2 k 2 -1 ． ∵ CM ? CN =（x 1 -m）（x 2 -m）+k 2 （x 1 -2 ）（x 2 -2） =（1+k 2 ）x 1 ?x 2 -（2k 2 +m）（x 1 +x 2 ）+4k 2 +m 2 = 4(1 - m)  k 2 -1 +  m 2 + 2(1-2m)  为常数，与k无关， ∴m=1，此时， CM ? CN =-1． 当当直线l斜率不存在时，M（2，2 2 ），N （2，-2 2 ）， CM ? CN =-1． 综上，存在定点C（1，0），使得 CM ? CN 为常数．