Question

（1）操作发现：如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延

（1）操作发现：如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究：如图，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

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Answer 1

（1）猜想线段GF=GC，                    证明：∵E是BC的中点， ∴BE=CE， ∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE， ∴BE=EF， ∴EF=EC， ∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°， ∴△ECG≌△EFG，             ∴FG=CG；                    （2）（1）中的结论仍然成立．    证明：∵E是BC的中点， ∴BE=CE， ∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE， ∴BE=EF，∠B=∠AEF， ∴EF=EC， ∴∠EFC=∠ECF， ∵矩形ABCD改为平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵∠ECD=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AEF=180°﹣∠B=180°﹣∠D， ∴∠ECD=∠EFG， ∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF，       ∴FG=CG；

（1）根据翻折的性质得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案； （2）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，进而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．