Question

已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1 、F 2 为顶点的三角形的周长为4( +1)。

已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1 、F 2 为顶点的三角形的周长为4( +1)。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF 1 和PF 2 与椭圆的交点分别为A、B和C、D，(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1 、PF 2 的斜率分别为k 1 、k 2 ，证明k 1 ·k 2 =1； (3)是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：(1)由题意知，椭圆离心率为 ， 则 ， 又 ，所以可解得 ， 所以 c 2 =4， 所以椭圆的标准方程为 ； 所以椭圆的焦点坐标为(±2，0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为 。 (2)设点P(x 0 ，y 0 )，则 ， 所以 ， 又点P(x 0 ，y 0 )在双曲线上，所以有 ， 即 ，所以 ； (3)假设存在实数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立， 则由(2)知k 1 ·k 2 =1，所以设直线AB的方程为y=k(x+2)， 则直线CD的方程为 ， 由方程组 ，消y得： ， 设 ， 则由韦达定理得： ， 所以 ， 同理可得 ， 又因为|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|， 所以有 ， 所以存在常数 ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立．