Question

已知万有引力常量为G，地球半径为R，同步卫星距地面的高度为h，地球的自转周期T，地球表面的重力加速度g

已知万有引力常量为G，地球半径为R，同步卫星距地面的高度为h，地球的自转周期T，地球表面的重力加速度g．某同学根据以上条件，提出一种估算地球赤道表面的物体随地球自转的线速度大小的方法：地球赤道表面的物体随地球作圆周运动，由牛顿运动定律有 GMm R 2 =m v 2 R 又因为地球上的物体的重力约等于万有引力，有 mg= GMm R 2 由以上两式得： v= gR （1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．（2）由以上已知条件还可以估算出哪些物理量？（请估算两个物理量，并写出估算过程）．

Answer 1

（1）以上结果是不正确的．因为地球赤道表面的物体随地球做圆周运动的向心力并不是物体所受的万有引力，而是万有引力与地面对物体支持力的合力． 正确的解答如下： 地球赤道表面的物体随地球自传的周期为T，轨道半径为R，所以线速度大小为 v= 2πR T （2）①可估算地球质量M．设同步卫星的质量为m，轨道半径为r=R+h，周期等于地球自传周期T，由牛顿第二定律有 G Mm (R+h ) 2 =m( 2π T ) 2 (R+h) 所以 M= 4 π 2 (R+h ) 3 G T 2 ． 或者：对地面上的物体有 mg=G Mm R 2       所以地球质量为 M= R 2 g G ②可以估算同步卫星运转时的线速度v′的大小， 由①可知，地球同步卫星的周期为T，轨道半径为r=R+h， 所以 v′= 2π(R+h) T 或者：万有引力提供向心力 G Mm (R+h ) 2 =m v ′ 2 (R+h)       对地面上的物体有 mg=G Mm R 2       所以得 v′=R g R+h 答：（1）因为地球赤道表面的物体随地球做圆周运动的向心力并不是物体所受的万有引力，而是万有引力与地面对物体支持力的合力． 正确的解答应为：地球赤道表面的物体随地球自传的周期为T，轨道半径为R，所以线速度大小为 v= 2πR T ． （2）由以上已知条件还可以估算出地球的质量和同步卫星的线速度．推导过程如上面所述．