已知椭圆两个焦点F1(-c,0)、F2(c,0),P为椭圆一点.且PF1?PF2=c2,则离心率范围______
已知椭圆两个焦点F1(-c,0)、F2(c,0),P为椭圆一点.且PF1?PF2=c2,则离心率范围______....
已知椭圆两个焦点F1(-c,0)、F2(c,0),P为椭圆一点.且PF1?PF2=c2,则离心率范围______.
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由椭圆的定义得:|PF1|+|PF2|=2a
平方得:|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|?|PF2|=4a2.①
又∵PF1?PF2=c2,∴|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2=c2,②
由余弦定理得:
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2=4c2,③
由①②③得:cos∠F1PF2=
≤1,
c≤a,e≤
|PF1|?|PF2|=2a2-3c2,又|PF1|?|PF2|≤(
)2=a2
∴2a2-3c2≤a2,a2≤3c2
即e≥
则此椭圆离心率的取值范围是:[
,
]
故答案为:[
平方得:|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|?|PF2|=4a2.①
又∵PF1?PF2=c2,∴|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2=c2,②
由余弦定理得:
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2=4c2,③
由①②③得:cos∠F1PF2=
c2 |
2a2?3c2 |
2 |
| ||
2 |
|PF1|?|PF2|=2a2-3c2,又|PF1|?|PF2|≤(
|PF1|+|PF2| |
2 |
∴2a2-3c2≤a2,a2≤3c2
即e≥
| ||
3 |
则此椭圆离心率的取值范围是:[
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3 |
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2 |
故答案为:[
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