已知椭圆两个焦点F1(-c,0)、F2(c,0),P为椭圆一点.且PF1?PF2=c2,则离心率范围______

已知椭圆两个焦点F1(-c,0)、F2(c,0),P为椭圆一点.且PF1?PF2=c2,则离心率范围______.... 已知椭圆两个焦点F1(-c,0)、F2(c,0),P为椭圆一点.且PF1?PF2=c2,则离心率范围______. 展开
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椛晓原先生xm3
推荐于2017-12-16 · TA获得超过126个赞
知道答主
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由椭圆的定义得:|PF1|+|PF2|=2a
平方得:|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|?|PF2|=4a2.①
又∵PF1?PF2=c2,∴|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2=c2,②
由余弦定理得:
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2=4c2,③
由①②③得:cos∠F1PF2=
c2
2a2?3c2
≤1,
2
c≤a,e≤
2
2

|PF1|?|PF2|=2a2-3c2,又|PF1|?|PF2|≤(
|PF1|+|PF2|
2
2=a2
∴2a2-3c2≤a2,a2≤3c2
即e≥
3
3

则此椭圆离心率的取值范围是:[
3
3
2
2
]
故答案为:[
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