（本小题满分12分）设函数 f ( x )= x 3 ＋ ax 2 ＋ bx ( x >0)的图象与直线 y =4相切于 M (1,4)．
（本小题满分12分）设函数f(x)=x3＋ax2＋bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4)．（Ⅰ）求f(x)=x3＋ax2＋bx在区间(0,4]上的最大值与最小...
（本小题满分12分）设函数 f ( x )= x 3 ＋ ax 2 ＋ bx ( x >0)的图象与直线 y =4相切于 M (1,4)．（Ⅰ）求 f ( x )= x 3 ＋ ax 2 ＋ bx 在区间(0,4]上的最大值与 最小值；（Ⅱ）设存在两个不等正数 s , t ( s < t ),当 x ∈[ s , t ]时,函数 f ( x )= x 3 ＋ ax 2 ＋ bx 的值域是[ ks , kt ]，求正数 k 的取值范围。
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| （Ⅰ） f ′( x )=3 x 2 ＋2 ax ＋ b .依题意则有： 所以解得所以 f ( x )= x 3 －6 x 2 ＋9 x ； f ′( x )=3 x 2 －12 x ＋9=3( x －1)( x －3),由 f ′( x )=0可得 x =1或 x =3. f ′( x ), f ( x )在区间(0,4]上的变化情况为：
所以函数 f ( x )= x 3 －6 x 2 ＋9 x 在区间[0,4]上的最大值是4,最小值是0. （2）由函数的定义域是正数知, s >0,故极值点(3,0)不在区间[ s , t ]上； ①若极值点M(1,4)在区间[s,t]上,此时0<s≤1≤t<3, 故有( i )  或( ii )  ( i )由k=,1≤t<3知,k∈,当且仅当t=1时,k=4； 再由k=(s－3) 2, 0<s≤1知,k∈[4,9),当且仅当s  =1时,k=4.由于s≠t,故不存在满足要求的k值． ( ii )由s=f(t)=f(t)=  ,及0<s≤1可解得2≤t<3,所以k=,2≤t<3知,k∈； 即当k∈时,存在t=∈[2,3),s=f(t)= ∈(0,1],且f(s)≥4s=f(t)>f(t),满足要求．②若函数f(x)在区间[s,t]上单调递增, 则0<s<t≤1或3<s<t, 且  ,故s,t是方程x 2 －6x＋9=k的两根,由于此方程两根之和为3,故[s,t]不可能同在一个单调增区间内； ③若函数f(x)在区间[s,t]上单调递减,则1<s<t<3  , , 两式相减并整理得s 2 (s－3) 3 =t 2 (t－3) 2 ,由1<s<t<3知s(s－3)=t(t－3),即s＋t=3, 再将两式相减并除以s－t得 －k=(s 2 ＋st＋t 2 )－6(s＋t)＋9=(s＋t) 2 －6(s＋t)＋9－st=－st, 即k=st,所以s,t是方程x 2 －3x＋k=0的两根,  令g(x)=x 2 －3x＋k, 则 
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