Question

（2013?门头沟区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于

（2013?门头沟区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于点E，交⊙O于点F，且DC=DE．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）如果DM=15，CE=10，cos∠AEM＝513，求⊙O半径的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连结OC，
∵OA=OC，DC=DE，
∴∠A=∠OCA，∠DCE=∠DEC，
又∵DM⊥AB，
∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°，
∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）如图所示，过D作DG⊥AC，连接CB，
∵DC=DE，CE=10，
∴EG=

1

2

CE=5，
∵cos∠DEG=cos∠AEM=

EG

DE

=

5

13

，
∴DE=13，
∴DG=

DE2?EG2

=12，
∵DM=5，
∴EM=DM-DE=2，
∵∠AME=∠DGE=90°，∠AEM=∠DEG，
∴△AEM∽△DEG，
∴

AM

DG

=

EM

EG

=

AE

DE

，即

AM

12

=

2

5

=

AE

13

，
∴AM=

24

5

，AE=

26

5

，
∴AC=AE+EC=

76

5

，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cosA=

AM

AE

=

AC

AB

，
∴AB=

247

15

，
则圆O的半径为

1

2

AB=

247

30

．