Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）在数列{an}中，是否存在

在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出满足条件的所有项；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵a₁=1，a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

，
∴a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

，
a_n+1=

n+1

n

a_n+

n+1

n

×

1

2

，
n×a_n+1=（n+1）a_n+（n+1）×

1

2

∴

an+1

n+1

-

an

n

=

1

2n

，

an

n

?

an?1

n?1

=

1

2n?1

，
…

a2

2

?

a1

1

=

1

2

．
等式两边相加，得：

an

n

?

a1

1

＝

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n?1

=

1 2 (1? 1 2n?1 )

1? 1 2

=1-