Question

已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+a2=15，a42=9a1a5．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式．（Ⅱ）设bn=log

已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+a2=15，a42=9a1a5．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式．（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，数列{1bn}的前n项和为Sn，若Sn＞3920，试求n的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₄²=9a₁a₅得，a₄²=9a₃²，即q²=9，
因为各项均为正数，所以解得q=3，
由2a₁+a₂=15得，2a₁+3a₁=15，解得a₁=3，
所以a_n=3ⁿ；
（Ⅱ）因为a_n=3ⁿ，
所以b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
则

1

bn

＝

2

n(n+1)

=2（

1

n

?

1

n+1

），
所以S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

?

1

3

）+（

1

3

?

1

4

）+…+（

1

n

?

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

，
由

2n

n+1

＞

39

20

解得，n＞39，
所以n的最小值为40．