Question

已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn；数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b

已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn；数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）令cn=Sncos（an3π）（n∈N+），求{cn}的前20项和T20．

Answer 1

（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，
则a₂b₂=（3+d）q=12，①
∵S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=9+3d+q=20，
∴3d+q=11，变形可得q=11-3d，②
代入①可得：（3+d）（11-d）=33+2d-3d²=12，
即3d²-2d-21=0，则（3d+7）（d-3）=0，
又由{a_n}是单调递增的等差数列，有d＞0，则d=3，
∴q=11-3d=2，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=2^n-1，
（2）cn＝Sncosnπ＝

Sn n是偶 ?Sn， n是奇

，

T20＝c1+c2+c3+…+c20＝?S 1+S2?S 3+S4?…?S19+S20 ＝a2+a4+a6+…+a20＝6+12+18+…+60＝330