Question

如果实数xy满足方程x平方加y平方减6x减6y加十二等于零求x加y的最大值与最小值

Answer 1

方法一：
x^2+y^2-6x-6y+12＝0
→(x-3)^2+(y-3)^2＝(√6)^2.
设x+y＝t,则
它与圆心(3,3)的距离不超过半径√6.
∴|3+3-t|/√2≤√6→6-2√3≤t≤6+2√3.
故所求最大值为：6+2√3；
且所求最小值为：6-2√3.

方法二：
x^2+y^2-6x-6y+12＝0,
则配方得
6＝(x-3)^2+(y-3)^2
→12＝(1+1)[(x-3)^2+(y-3)^2]
≥[(x-3)+(y-3)]^2
(柯西不等式)
∴-2√3≤x+y-6≤2√3
→6-2√3≤x+y≤6+2√3.
故所求最大值为：6+2√3；
且所求最小值为：6-2√3.

方法三：
设x+y＝t,代入条件式得
x^2+(t-x)^2-6x-6(t-x)+12＝0
即2x^2-2tx+(t^2-6t+12)＝0.
△＝(-2t)^2-8(t^2-6t+12)≥0
→t^2-12t+24≤0.
解得，6-2√3≤t≤6+2√3.
故所求最大值为：6+2√3；
且所求最小值为：6-2√3。