Question

在直角坐标系xoy中，曲线y=x2-6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的

在直角坐标系xoy中，曲线y=x2-6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．

Answer 1

（1）曲线y=x²-6x+5与坐标轴x轴的交点
令x²-6x+5=0
解得：A（1，0），B（5，0）
与y轴的交点C（0，5）
设圆的一般式为：x²+y²+Dx+Ey+F=0
把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入圆的方程：

1+D+F＝0 25+5D+F＝0 25+5E+F＝0

解得

D＝?6 E＝?6 F＝5

圆的方程为：x²+y²-6x-6y+5=0
（2）根据（1）的结论x²+y²-6x-6y+5=0转化为标准式：（x-3）²+（y-3）²=13
点（2，4）与圆心（3，3）的距离为

2

＜

13

所以最短弦的直线的斜率k与点（2，4）与圆心（3，3）所构成的直线斜率乘积为-1．
所以k=1
进一步求出直线方程为：x-y+2=0．
所以圆心（3，3）到直线的距离为：d=

|3?3+2|

2

=

2

设半弦长为l
则：l²+d²=r²
解得：l＝

11

则弦长为2l=2

11