Question

若单调递增数列 满足 ，且 ，则 的取值范围是 .

若单调递增数列 满足 ，且 ，则 的取值范围是 .





Answer 1

若单调递增数列{an}满足an+a(n+1)+a(n+2)=3n-6，且a2=½a1，则a1的取值范围是______．

解：
n=1时，a1+a2+a3=3×1-6=-3
a3=-3-(a1+a2)=-3-(a1+½a1)=-3-(3/2)a1
an+a(n+1)+a(n+2)=3n-6
a(n+1)+a(n+2)+a(n+3)=3(n+1)-6=3n-3
a(n+3)-an=3，为定值
n=3k-2，(k∈N*)时，an=a1+[(n-1)/3]×3=a1+n-1
n=3k-1，(k∈N*)时，an=½a1+[(n-2)/3]×3=½a1+n-2
n=3k，(k∈N*)时，an=-3-(3/2)a1 +[(n-3)/3]×3=(-3/2)a1+n-6
数列的通项公式为an=
a1+n-1， (n=3k-2)
½a1+n-2，(n=3k-1)
(-3/2)a1+n-6，(n=3k)，(其中，k∈N*)
数列是递增数列，
[½a1+(3k-1)-2]-[a1+(3k-2)-1]>0
[(-3/2)a1+3k-6]-[½a1+(3k-1)-2]>0
[a1+3(k+1)-2-1]-[(-3/2)a1+3k-6]>0
整理，得
½a1<0
2a1+3<0
5a1+12>0
解得-12/5<a1<-3/2
a1的取值范围为(-12/5，-3/2)

解题思路：
1、先求出数列的通项公式，再作进一步的考察。
2、本题求出的通项公式的表达式有3个，因此要数列是单调递增数列，同一组的后项大于前项，后一组的第一项大于前一组的第三项。由此列出不等式组。解此不等式组，即求得a1的取值范围。
3、为了数学的严谨性，本题完整写出了推导过程。其实，由数列是三级等差数列，如果不要求解题过程，那么只需a2>a1，a3>a2，a4>a3，是可以的，作为选择题、填空题，这么做可以简化计算，但是非常不严谨，作为计算题，肯定是不能直接由有限项确定结果的。

Answer 2

( ,- )

试题分析：由 ， 得， = ，所以 = ，由 是单调递增数列知， ，即 ＞ ＞ ＞ ，解得 ＜ ＜- 考点:数列的单调性；转化与化归思想