Question

已知函数f（x）=x?2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x

已知函数f（x）=x?2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）为偶函数，∴-2m²+m+3为偶数，
又f（3）＜f（5），∴3?2m2+m+3＜5?2m2+m+3，即有：(

3

5

)?2m2+m+3＜1，
∴-2m²+m+3＞0，∴-1＜m＜

3

2

，又m∈Z，∴m=0或m=1．
当m=0时，-2m²+m+3=3为奇数（舍去），
当m=1时，-2m²+m+3=2为偶数，符合题意．
∴m=1，f（x）=x²
（2）由（1）知：g（x）=log_a[f（x）-ax]=log_a （x²-ax） （a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数．
令u（x）=x²-ax，y=log_au； 
①当a＞1时，y=log_au为增函数，只需u（x）=x²-ax在区间[2，3]上为增函数．
即：

a 2 ≤2 u(2)＝4?2a＞0

?1＜a＜2
②当0＜a＜1时，y=log_au为减函数，只需u（x）=x²-ax在区间[2，3]上为减函数．
即：

a 2 ≥3 u(3)＝9?3a＞0

?a∈?，
综上可知：a的取值范围为：（1，2）．