Question

（2008?贵港）已知：如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延

（2008?贵港）已知：如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AD=BD；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，sin∠F=35，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接CD，（1分）
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB．（2分）
∵AC=BC，
∴AD=BD．（3分）

（2）证明：连接OD，（4分）
∵∠A=∠B，∠AED=∠BDC=90°，
∴∠ADE=∠DCO．
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠CDO．
∴∠CDO=∠ADE．
由（1）得∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDO+∠CDE=90°．（5分）
即∠ODF=90°．
∴DF是⊙O的切线．（6分）

（3）解：在Rt△DOF中，
∵sin∠F=

3

5

＝

3

OF

，
∴OF=5．（7分）
∵OC=3，
∴CF=5-3=2．
由（2）得∠DEA=∠ODF=90°，
∴OD∥AC．
∴△CEF∽△ODF．（9分）
∴

EF

DF

＝

CF

OF

．（10分）
即

4?DE

4

＝

2

5

．
∴DE=

12

5

．（11分）