Question

设f（x）在区间[a，b]上具有二阶导数且f（a）=f（b）=0，f′+（a）?f′-（b）＞0，证明：必?ξ∈（a，b）

设f（x）在区间[a，b]上具有二阶导数且f（a）=f（b）=0，f′+（a）?f′-（b）＞0，证明：必?ξ∈（a，b），η∈（a，b）使f（ξ）=0，f″（η）=0．

Answer 1

因为f′（x）连续，不妨设f′₊（a）＞0，f′_-（b）＜0．
因为f（x）在区间[a，b]上具有二阶导数，故其一阶导数连续．
因为f′₊（a）＞0，f′_-（b）＜0，由连续函数的保号性可得，
?ξ₂∈（a，a+ε），η₂∈（b-ε，b），使得f（ξ₂）＞0，f（η₂）＜0，
从而，由介值定理知?ξ∈（ξ₂，η₂）?（a，b），使f（ξ）=0．
由于f（x）在[a，ξ]和[ξ，b]上分别满足罗尔定理，
从而，分别?ξ₁∈（a，ξ），ξ₃∈（ξ，b）使f′（ξ₁）=0，f′（ξ₃）=0．
又f′（x）在[ξ₁，ξ₃]上满足罗尔定理，
所以，?η∈（ξ₁，ξ₃）?（a，b），使f″（η）=0．