Question

有无限个间断点的函数可积吗？

Answer 1

有可能可积。有界函数有无穷多个间断点是可能可积的，最简单的例子就是单调有界函数，容易证明，单调有界函是一定可积的，但可能有无穷多个间断点。

这个函数是二元函数的话。可以是无穷个间断点，二元函数只要保证仅在有限的曲线上，不连续该函数仍可积。

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

Answer 2

黎曼函数就是一个典型的无限个间断点可积的函数。
1、黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。
2、黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）
另外，无限这个概念可以再细分为可数与不可数。这些会在实变函数里进一步讲到。

（知识来源：http://baike.baidu.com/link?url=5KcWlKRfBrP9ZSRodASYANaFfKBQv1FOHETjc5YazWqaoc0sMbgj7z5nFOVajG6bJHoD9rnkmpfTWIpk3b_ol_）