Question

（2013?下城区二模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=45，矩形CDEF内接于半圆，点C，D在AB上，点E，F在半圆

（2013?下城区二模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=45，矩形CDEF内接于半圆，点C，D在AB上，点E，F在半圆上．（1）当矩形CDEF相邻两边FC：CD=3：2时，求弧AF的度数；（2）当四边形CDEF是正方形时：①试求正方形CDEF的边长；②若点G，M在⊙O上，GH⊥AB于H，MN⊥AB于N，且△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，求HN的长．

Answer 1

解：（1）连接FO，
根据圆的对称性，矩形CDEF内接于半圆可得CO=OD，
∴Rt△COF中，tan∠FOC=

FC

OD

=

3

，
∴∠FOC=60°，
∴弧AF的度数为60°；

（2）①∵四边形CDEF是正方形，
∴FC=2CO，
∵FC²+CO²=（2

5

）²，
解得：CO=2，
∴CF=4，正方形的边长为4，
②连结OG，OM，
∵△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，
∴DH=HG，HN=MN
在Rt△OGH中，OH²+HG²=OG²，
设DH=x，则（2+x）²+x²=（2

5

）²，
解得x=2 或x=-4（舍去），
在Rt△OMN中，ON²+NM²=OM²，设HN=y，
∴（2+2+y）²+y²=（2

5

）²，
解得：y=-2±

6

（舍去负值），
∴HN=

6

-2．