已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极
已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．①求t的取值范围；②若a+c=2b...
已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．①求t的取值范围；②若a+c=2b2，求t的值．（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．
展开
1个回答
展开全部
（1）①f'（x）=（3x2-12x+3）ex+（x3-6x2+3x+t）ex=（x3-3x2-9x+t+3）ex
∵f（x）有3个极值点，
∴x3-3x2-9x+t+3=0有3个根a，b，c．
令g（x）=x3-3x2-9x+t+3，g'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），
g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，（-1，3）上递减．
∵g（x）有3个零点∴
∴-8＜t＜24．
②∵a，b，c是f（x）的三个极值点，
∴x3-3x2-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x-abc
∴
∴b=1或-
（舍∵b∈（-1，3））
∴
∵f（x）有3个极值点，
∴x3-3x2-9x+t+3=0有3个根a，b，c．
令g（x）=x3-3x2-9x+t+3，g'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），
g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，（-1，3）上递减．
∵g（x）有3个零点∴
|
②∵a，b，c是f（x）的三个极值点，
∴x3-3x2-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x-abc
∴
|
∴b=1或-
| 3 |
| 2 |
∴
|
