Question

设f″（x）＜0，f（0）=0，证明：对任何x1＞0，x2＞0，有f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2）

设f″（x）＜0，f（0）=0，证明：对任何x1＞0，x2＞0，有f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2）．

Answer 1

因为x₁＞0，x₂＞0
不妨设0＜x₁＜x₂＜x₁+x₂，则f（x）在[0，x₁]和[x₂，x₁+x₂]上满足拉格朗日中值定理．
∴存在ξ₁∈（0，x₁），使得：
f′(ξ1)＝

f(x1)?f(0)

x1

＝

f(x1)

x1

，
存在ξ₂∈（x₂，x₁+x₂），使得：
f′(ξ2)＝

f(x1+x2)?f(x2)

x1

，
又由：f″（x）＜0，
得：f′（x）单调递减，
∴f′（ξ₁）＞f′（ξ₂），
∴

f(x1)

x1

＞

f(x1+x2)?f(x2)

x1

，
∴f（x₁+x₂）＜f（x₁）+f（x₂）．证毕．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示