Question

已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且对任意的n∈N*，都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n?2n+3．（

已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且对任意的n∈N*，都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n?2n+3．（Ⅰ）若{bn}的首项为4，公比为2，求数列{an+bn}的前n项和Sn；（Ⅱ）若an=4n+4，试探究：数列{bn}中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它r（r∈N，r≥2）项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）因为a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=n?2ⁿ⁺³，
所以当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-1）?2ⁿ⁺²，
两式相减，得a_nb_n=n?2ⁿ⁺³-（n-1）?2ⁿ⁺²=（n+1）?2ⁿ⁺²，
而当n=1时，a₁b₁=16，适合上式，从而a_nb_n=（n+1）?2ⁿ⁺²，…（3分）
又因为{b_n}是首项为4，公比为2的等比数列，即b_n=2ⁿ⁺¹，
所以a_n=2n+2，…（4分）
从而数列{a_n+b_n}的前n项和S_n=

n(4+2n+2)

2

+

4(1?2n)

1?2

=2ⁿ⁺²+n²+3n-4；…（6分）
（Ⅱ）因为a_n=4n+4，a_nb_n=（n+1）?2ⁿ⁺²，所以bn＝2n，…．（8分）
假设数列{b_n}中第k项可以表示为该数列中其它r，r∈N，r≥2）项b_t1，…，b_tr，（t₁＜t₂＜…＜t_r）的和，
即b_k=b_t1+…+b_tr，从而2^k=2t1+…+2tr，易知k≥t_r+1，（*） …（9分）
又2^k=2t1+…+2tr≤2+2²+…+2tr=

2(1?2tr)

1?2

=2tr+1-1＜2tr+1，
所以k＜t_r+1，此与（*）矛盾，从而这样的项不存在． …（12分）