Question

已知数列{an}，{bn}中，对任意n∈N*都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=（n-1）?2n+1．（1）若数列{a

已知数列{an}，{bn}中，对任意n∈N*都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=（n-1）?2n+1．（1）若数列{an}是等差数列，数列{bn}是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；（2）求证：ni＝11a ibi＜32．

Answer 1

解答：（1）解：依题意，由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）?2ⁿ+1，
可得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）?2^n-1+1（n≥2），
两式相减可得a_nb_n=n?2^n-1，
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d
∵a_nb_n=n?2^n-1，
∴b_n=

n?2n?1

a1+(n?1)d

（n≥2）
∴b_n=

2n?1

a1?d n +d

若数列{b_n}是等比数列，则a₁=d≠0
∴a₁=d≠0时，数列{b_n}是等比数列，b_n=

2n?1

d

；a₁≠d时，数列{b_n}不是等比数列；
（2）证明：由（1）知a_nb_n=n?2^n-1，n=1，2时，结论成立．
∴

n

i＝1

1

a ibi

=

1

1×1

+

1

2×2

+…+

1

n×2n?1

＜

1

1×1

+

1

2×2

+…+

1

2×2n?1

（n≥3）
=1+

1

4

+

1

8

×

1?( 1 2 )n?2

1? 1 2

≤1+

1

4

+

1

4

=

3

2

．