Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，短轴上端点为B，△BF1F2为等边三角形．（

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，短轴上端点为B，△BF1F2为等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设过点F2的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△F1 PQ面积的最大值为6，求椭圆C的方程．

Answer 1

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题得BF₂=2OF₂，即a=2c，
∴e＝

1

2

…（4分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线PQ方程：x=ty+c，
联立

x＝ty+c b2x2+a2y2＝a2b2

，
得（a²+b²t²）y²+2b²cty-b⁴=0，
∴y1+y2＝?

2b2ct

a2+b2t2

，y1y2＝?

b4

a2+b2t2

…（7分）S＝

1

2

?2c?|y1?y2|＝c

4b4c2t2 (a2+b2t2)2 + 4b4 a2+b2t2

＝

2ab2c 1+t2

a2+b2t2

，
令u＝

1+t2

≥1，S＝

2ab2cu

a2+b2(u2?1)

＝

2ab2c

c2 u +b2u

≤

2ab2c

a2

＝b2，
其中等号成立时u=1，
∴b²=6，a²=8，
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

16

＝1．…（12分）