Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线．（2）若AD= 2 6 ，AE= 6 2 ，求EC的长．

Answer 1

（1）证明：取BD中点O，连接OE， ∵∠DEB=90°， ∴BD为直径， ∴BD的中点O为外接圆的圆心． ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠EBO， ∵OE=OB， ∴∠OEB=∠EBO， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE ∥ BC， ∵BC⊥AC， ∴OE⊥AC， ∵OE为半径， ∴AC是△BDE的外接圆的切线； （2）设⊙O半径为R， 则在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA 2 =AE 2 +OE 2 ， 即（R+2 6 ） 2 =R 2 +（6 2 ） 2 ， 解得：R=2 6 ， ∴OA=2OE， ∴∠A=30°，∠AOE=60°， ∴∠CBE=∠OBE=30°， ∴EC= 1 2 BE= 1 2 × 3 R= 1 2 × 3 ×2 6 =3 2 ．