Question

已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x．（1）求f（x）的值域和最小正周期及对称中心；（2）由函数y=f（x）的图

已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x．（1）求f（x）的值域和最小正周期及对称中心；（2）由函数y=f（x）的图象经由向量a平移可得函数y＝22sin2x的图象，求a．

Answer 1

（1）f(x)＝sinx?cosx+sin2x＝

1

2

sin2x+

1?cos2x

2

＝

1

2

(sin2x?cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x?

π

4

)+

1

2

，（3分）
因为?1≤sin(2x?

π

4

)≤1，所以

1? 2

2

≤

2

2

sin(2x?

π

4

)+

1

2

≤

1+ 2

2

，（2分）
即函数f（x）的值域为[

1? 2

2

，

1+ 2

2

].
函数f（x）的最小正周期为T＝

2π

2

＝π，（1分）
令2x?

π

4

＝kπ，k∈Z，得x＝

π

8

+2kπ，
所以对称中心为(

π

8

+2kπ，

1

2

)k∈Z.（1分）

（2）需将函数y=f（x）左移

π

8

，再下移

1

2

个单位，
函数f（x）=

2

2

sin(2x?

π

4

)+

1

2

的图象，可得函数y＝

2

2

sin2x的图象，
所以

a

＝(?

π

8

，?

1

2

)（6分）