Question

已知二次函数f（x）=x2+ax+2．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[3，4]上单调且有最大值为2，求实数a值；（Ⅱ）若

已知二次函数f（x）=x2+ax+2．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[3，4]上单调且有最大值为2，求实数a值；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与连接两点M（0，1），N（2，3）的线段（包括M，N两点）有两个相异的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由于二次函数f（x）=x²+ax+2的对称轴为x=-

a

2

，
当?

a

2

≤3，即：a≥-6时，f（x）在区间[3，4]上单调递增，
函数的最大值为f（4）=2，得a=-4．
当?

a

2

≥4，即：a≤-8时，f（x）在区间[3，4]上单调递减，
函数的最大值为f（3）=2，得a=-3（舍去）．
综上，a=-4．
（Ⅱ）用两点式求得MN的方程为

y?1

3?1

＝

x?0

2?0

，
即l_MN：y=x+1，
由题意：原命题等价于x²+ax+2=x+1在[0，2]上有两个不等的实根．
设f（x）=x²+（a-1）x+1，即函数y=f（x）在[0，2]有两个零点．
于是有：

f(2)≥0 0＜? a?1 2 ＜2 (a?1)2?4＞0

，
求得：?

3

2

≤a＜?1，
由此求得a的范围为[-

3

2

，-1）．