Question

线性代数，设向量组a1 a2 a3线性无关， 且b=k1a1+k2a2+k3a3.证明若k1 不等

线性代数，设向量组a1 a2 a3线性无关，
且b=k1a1+k2a2+k3a3.证明若k1 不等于0，则向量组b a2 a3也线性无关

Answer 1

因为a1 a2 a3线性无关，所以k1a1+k2a2+k3a3=0中，k1 k2 k3均为0.
k1a1+k2a2+k3a3-b=0,若k1不等于0，那么只有k2 ,k3=0且b与a1线性相关时等式成立。
因为b与a1线性相关，a1 a2 a3线性无关，则b a2 a3线性无关

Answer 2

你直接用反证法不就行了吗？假设b a2 a3线性相关，故∃不全为0的数b1,b2,b3∈F 使得b1b+b2a2+b3a3=0
所以有b1(k1a1+k2a2+k3a3)+b2a2+b3a3=0
整理得b1k1a1+(b1k2+b2)a2+(b1k3+b3)a3=0
因为a1 a2 a3线性无关，所以b1k1=b1k2+b2=b1k3+b3=0
又因为b1 b2 b3不全为0,所以k1=0
若k1≠0,则假设不成立，故向量组b a2 a3线性相关

追答

你直接用反证法不就行了吗？假设b a2 a3线性相关，故∃不全为0的数b1,b2,b3∈F 使得b1b+b2a2+b3a3=0
所以有b1(k1a1+k2a2+k3a3)+b2a2+b3a3=0
整理得b1k1a1+(b1k2+b2)a2+(b1k3+b3)a3=0
因为a1 a2 a3线性无关，所以b1k1=b1k2+b2=b1k3+b3=0
又因为b1 b2 b3不全为0,所以k1=0
若k1≠0,则假设不成立，故向量组b a2 a3线性无关

Answer 3

反证法，若k1不为0，b a2 a3线性相关，则b可用a2 a3表示，b=k4a2+k5a3,则k1a+k2a2+k3a3=k4a2+k5a3,可得k1a1=(k4-k2)a2+(k5-k3)a3,又因为a1 a2 a3线性无关，矛盾，则不成立。