Question

​设A=（第一行：1，0，1。第二行2，1，2。第三行0，1，1。），且矩阵A，X满足AX=A+X，求矩阵X。

最好有过程，谢谢。

Answer 1

AX=A+X
则
(A-E)X=A
即X=(A-E)⁻¹A

A=
1 0 1
2 1 2
0 1 1

A-E=
0 0 1
2 0 2
0 1 0

下面来求(A-E)⁻¹，使用增广矩阵A|E的初等行变换

0 0 1 1 0 0
2 0 2 0 1 0
0 1 0 0 0 1
→ 第1行放到第三行
2 0 2 0 1 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0
→第3行x(-1)，加到第1行
2 0 2 0 1 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0
→第3行x(-2)，加到第1行
2 0 0 -2 1 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0
→第1行/2
1 0 0 -1 1/2 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0

所以(A-E)⁻¹=
-1 1/2 0
0 0 1
1 0 0

而A=
1 0 1
2 1 2
0 1 1

所以(A-E)⁻¹A=
0 1/2 0
0 1 1
1 0 1

即矩阵X=
0 1/2 0
0 1 1
1 0 1