Question

已知函数fx=2x³-3x (1)求f(x)在区间【-2,1】上的最大值; (2)若过点p(1

t）存在3条直线与曲线 y=fx相切，求t的取值范围；
(3)问过点A(-1，2)B(2，10)C(0，2)分别存在几条直线与曲线y=fx相切？

Answer 1

f(x)=2x^3-3x,
f'(x)=6x^2-3,
(1)由f'(x)=0得x=土√2/2，
-√2/2<x<√2/2时f'(x)<0，f(x)是减函数，其他，f(x)是增函数，
f(-2)=-10,f(-√2/2)=√2，f(√2/2)=-√2，f(1)=-1,
∴f(x)在[-2,1]上的最大值=√2.
（2）曲线y=f(x)在(m,2m^3-3m)处的切线为y-(2m^3-3m)=(6m^2-3)(x-m),①
它过点P(1，t),
∴t-(2m^3-3m)=(6m^2-3)(1-m),
∴t=-4m^3+6m^2-3,有3个原像，
t'=-12m^2+12m=-12m(m-1),
t(0)=-3,t(1)=-1,是t的极值，
∴t的取值范围是(-3,-1).
(3)切线①过A(-1，2),则
2-(2m^3-3m)=(6m^2-3)(-1-m)，
整理得g(m)=4m^3+6m^2-1=0,②
g(-∞)→-∞，g(-1)=1,g(0)=-1,g(1)=9，②有3个实根，
∴过点A的切线有3条。
剩下部分留给您练习，可以吗？