数列极限问题 70
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(3)证明
|an-0|=|sinn/n-0|=|sinn|/n
要使|an-0|=|sinn|/n<ε,只要使n>|sinn|/ε
∵|sinn|/ε≤1/ε,∴取N=[1/ε],则当n>N≥|sinn|/ε时,就有|an-0|<ε成立
即lim(n→∞)sinn/n=0
(4)证明
0.999......=0.9+0.09+0.009+......=9/10+9/100+9/1000......
∵9/10+9/100+9/1000......是首项为9/10,公比为1/10的等比数列求和,前n项和为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=1-1/10^n
∴原等式等价於lim(n→∞)1-1/10^n=1
∵|an-1|=1/10^n,要使1/10^n<ε,只要使10^n>1/ε
两边取常用对数得n>-lgε
∴取N=[-lgε],则当n>N时,|an-1|<ε
即lim(n→∞)0.999......=1
|an-0|=|sinn/n-0|=|sinn|/n
要使|an-0|=|sinn|/n<ε,只要使n>|sinn|/ε
∵|sinn|/ε≤1/ε,∴取N=[1/ε],则当n>N≥|sinn|/ε时,就有|an-0|<ε成立
即lim(n→∞)sinn/n=0
(4)证明
0.999......=0.9+0.09+0.009+......=9/10+9/100+9/1000......
∵9/10+9/100+9/1000......是首项为9/10,公比为1/10的等比数列求和,前n项和为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=1-1/10^n
∴原等式等价於lim(n→∞)1-1/10^n=1
∵|an-1|=1/10^n,要使1/10^n<ε,只要使10^n>1/ε
两边取常用对数得n>-lgε
∴取N=[-lgε],则当n>N时,|an-1|<ε
即lim(n→∞)0.999......=1
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