Question

已知f(x)=ax^3+bx^2+cx在区间（0，1）上是增函数，在区间（负无穷，0），（1，正无穷）上是减函数。

已知f(x)=ax^3+bx^2+cx在区间（0，1）上是增函数，在区间（负无穷，0），（1，正无穷）上是减函数。又f'(x)=3/2
①求f(x)解析式
②若在区间【0，m】（m>0)上恒有f(x)<=x成立，求m的取值范围。
①的答案为f(x)= -2x^3+3x^2
只问第二问怎么做？详细过程。
二问正确答案是（0，1/2】，怎么做？

Answer 1

(1)求导f’(x)=3ax^2+2bx+c>0
在区间（0，1）上是增函数
所以f'(x)=3ax(x-1)>0且a<0所以3a=-2b,c=0
又因为f'(x)=3/2即f(1)=3/2所以得出a=-2,b=3
所以f(x)=-2x^3+3x^2
(2)f(x)<=x即-2x^3+3x^2-x<=0因为x>=0m>0
所以2x^2-3x+1>=0所以x=<1/2或者x>=1
因为区间【0，m】是闭区间所以x>=1(舍去）
因为恒有f(x)<=x所以m=<1/2

Answer 2

由题可知：x即m
∵-2x^3+3x^2≤x
∴-2x^3+3x^2-x≤0
x（-2x^2+3x-1）≤0
x（x-1）（2x-1）≤0
又∵x＞0
∴x≤1或x≥0.5
∴0.5≤m≤1