Question

微积分证明题，拉格朗日余项的1阶麦克劳林公式，证明:当x趋于0时，θ趋于1/3

Answer 1

利用带拉格朗日余项的泰勒展开式展开到三阶导数
有 f(x+h)=f(x)+f'(x)h+1/2f''(x)h^2+1/6f'''(x+ah)h^3，其中a大于0小于1
那么已知f(x+h)=f(x)+f'(x)h+1/2f''(x+oh)h^2，o大于0小于1
所以联立两个式子，发现f''(x+oh)-f''(x)=1/3f'''(x+ah)h
两边同时除以oh，再取极限（lim(h-0)）
发现f'''(x)=1/3o f'''(x)，所以3o=1,o=1/3
注：该题希腊字母此处用o表示

追问

那么如何说明f(x)的三阶导数存在?

追答

题目中说了啊！

Answer 2

利用带Peano型余项的Taylor公式可得
(1) f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f''(x)h^2/2 + f'''(x)h^3/6 + o(h^3)
(2) f''(x+θh) = f''(x) + f'''(x)θh + o(h)
把(2)代入带Lagrange型余项的Taylor公式并和(1)相减即得结论

追问

那么如何说明f(x)的三阶导数存在?

追答

题目条件里给了你f'''(x)≠0