Question

棱长为a的正四面体的外接球半径和内切球半径各是多少

Answer 1

连接正四面体的各个三角形的中心，形成一个新的正四面体。容易证明，新正四面体的边长为a/3.
我想，按这个思路做下去，大概是比较简单的做法。
原来四面体的内切圆是新四面体的外接圆。
所以外接圆半径R是内切圆半径r的3倍。
R=3r,
作图即可知道
(3r)^2=r^2+[(2/3)×(根号3)a/2]^2
=>r=a/(2根号6)
R=3a/(2根号6)