Question

已知·函数f（x）=丨x-1丨+丨x+1丨 1）求不等式f(x)≤x+2的解集

2）若·f(x)≥丨a+1丨+丨2a-1丨／丨a丨,对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围。

Answer 1

f(x)=|x-1|+|x+1|

f₁(x)=1-x-x-1=-2x x≤-1

f₂(x)=1-x+x+1=2  -1≤x≤1

f₃(x)=x-1+x+1=2x  x≥1

∴f₁(x)≤x+2→-2x≤x+2 x≥-2/3 无解

   f₂(x)≤x+2→2≤x+2→0≤x≤1

   f₃(x)≤x+2→2x≤x+2→1≤x≤2

∴解集为0≤x≤2

(2)(|a+1|+|2a-1|)/|a| 

当a≤-1∪a≥1/2 

(|a+1|+|2a-1|)/|a| 恒等于最小值3

∴f₁(x)≥3→-2x≥3→x≤-15

  f₂(x)=2≥3恒不成立，无解

   f₃(x)≥3→2x≥3→x≥1.5

  

Answer 2

分段讨论：
x<-1时，f(x)=1-x-x-1≤x+2，3x>=-2，无解
-1<=x<=1时，f(x)=1-x+x+1≤x+2，0<=x<=1
x>1进，f(x)=x-1+x+1≤x+2，1<x<=2
综上，解集为： 0<=x<=2

根据|x|+|y|>=|x+y|，得：
丨a+1丨+丨2a-1丨／丨a丨
=丨1+1/a丨+丨2-1/a丨>=丨1+1/a+2-1/a丨= 3
f(x)≥丨a+1丨+丨2a-1丨／丨a丨>=3
即 解不等式
丨x-1丨+丨x+1丨>=3
即数轴上任意到±1两点的距离之和不小于3
所以 x<=-1.5 或x>=1.5