数学问题？求证x>0 求证 (ex-1)ln(x+1)>x2
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∵当x>0时,ln(1+x)>0
∴在要证的不等式两边除以xln(1+x),不等号方向不变
∴只要证(e^x-1)/x>x/ln(1+x)
设f(x)=(e^x-1)/x,则
f'(x)=[e^x*x-(e^x-1)]/x²=[(x-1)e^x+1]/x²
又设g(x)=(x-1)e^x+1,则
g'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x
∵当x>0时,g'(x)>0,∴g(x)是增函数
∴g(x)>g(0)=0
∴f'(x)=g(x)/x²>0,∴f(x)是增函数.
又令x=e^t-1,t>0,则不等式右边变成(e^t-1)/t
∴由f(x)的单调性可知,只要证x>t即可
又当t>0时,有e^t-1>t,即x>t
∴原不等式成立.
∴在要证的不等式两边除以xln(1+x),不等号方向不变
∴只要证(e^x-1)/x>x/ln(1+x)
设f(x)=(e^x-1)/x,则
f'(x)=[e^x*x-(e^x-1)]/x²=[(x-1)e^x+1]/x²
又设g(x)=(x-1)e^x+1,则
g'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x
∵当x>0时,g'(x)>0,∴g(x)是增函数
∴g(x)>g(0)=0
∴f'(x)=g(x)/x²>0,∴f(x)是增函数.
又令x=e^t-1,t>0,则不等式右边变成(e^t-1)/t
∴由f(x)的单调性可知,只要证x>t即可
又当t>0时,有e^t-1>t,即x>t
∴原不等式成立.
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补充一点，e^x-1>x这个不等式的证明你可以自己去百度
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2024-10-13 广告
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