Question

求证Σ(sinnx)/n不绝对收敛，其中x∈（0,2π）

Answer 1

令f(x)=(π-x)/2，0<x<2π，那么 可以验证∑sinnx/n 是f(x)的在R上周期为2π的延拓函数的傅里叶级数。

注意这里面的f(x)的延拓函数不是一个连续函数，特别的在0和2π处不连续，所以∑sinnx/n在[0,2π]上不可能是一致收敛的，否则矛盾。

Answer 2

∵f（x）=sinnx+cosnx（n∈N*，n≠2，x∈R）∴（1）当 n=2k-1，k∈N*时，f（x+2π）=f（x），∴2π 是 f（x） 的一个周期．令 f（x）=0，可得tannx=-1，即tanx=-1．解得x=3π4+kπ，k∈N*，下面证明2π 是 f（x）的最小正周期：①当 T1∈（0，2π）且T1≠π是其周。

追问

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