Question

已知函数f(x)＝sin2x-2sin²x/sinx，求其定义域和最大值并写出f(x)在(0，π)上

已知函数f(x)＝sin2x-2sin²x/sinx，求其定义域和最大值并写出f(x)在(0，π)上的单调区间。
但上式化为2cosx-2sinx后不是可以化为2√2cos(x+π/4)和2√2sin(π/4-x)吗？
两种的单调区间不同啊。标准答案求出来是2√2cos(x+π/4)

Answer 1

f(x)=(sin2x-2sin²x)/sinx
=(2sinxcosⅹ-2sin²x)/sinx
=2(cosx-sinx)
=2√2[cosxcos(π/4)-sinxsin(π/4)]
=2√2cos(x+π/4)

显然，定义域为x∈R，即(-∞，+∞).

cos(x+π/4)=1，
即x=2kπ-π/4时，
最大值f(x)|max=2√2.

0<x<π，即x+π/4∈(π/4，5π/4).
∴x+π/4∈(π/4，π)时，f(x)单调递减;
x+π/4∈(π，5π/4)时，f(x)单调递增。