Question

线性代数题

Answer 1

|λE - B| =
|λ-4 -6 0|
| 3 λ+5 0|
| 3 6 λ-1|
= (λ-1)(λ^2 +λ - 20 + 18)
= (λ+2)(λ-1)^2
特征值 矩阵 ∧ = diag(1, 1, -2)^T
对于重特征值λ= 1，λE - B =
[-3 -6 0]
[ 3 6 0]
[ 3 6 0]
初等行变换为
[ 1 2 0]
[ 0 0 0]
[ 0 0 0]
得特征向量 (2, -1, 0)^T, (0, 0, 1)^T,
故 矩阵 B 可以对角化。
对于特征值λ= -2，λE - B =
[-6 -6 0]
[ 3 3 0]
[ 3 6 -3]
初等行变换为
[ 1 1 0]
[ 0 3 -3]
[ 0 0 0]
初等行变换为
[1 0 1]
[0 1 -1]
[0 0 0]
得特征向量 (-1, 1, 1)^T,
取特征向量矩阵 P =
[ 2 0 -1]
[-1 0 1]
[ 0 1 1]
则 P^(-1) =
[ 1 1 0]
[-1 -2 1]
[ 1 2 0]
得 P^(-1)BP = diag(1, 1, -2)^T = ∧