Question

用向量证明梯形两腰中点的连线平行于底边而且等于两底边和的一半

Answer 1

证明：

梯形ABCD，上下底 AB∥CD，设AD、BC中点分别为E、 F。

下面都是向量式，都有箭头：

则2EF =(EA+AB+BF)+(ED+DC+CF)；

因为EA、ED和 CF、BF为相反向量，加和为0向量；

解得EF =1/2（AB+DC)。

向量：

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。

如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

Answer 2

EF=EA+AD+DF
=1/2BA+1/2DC+AD
=1/2(BA+AG)+AD
=1/2BG+AD
=1/2(BC-GC)+AD
=1/2BC-1/2GC+AD
=1/2BC-1/2AD+AD
=1/2BC+1/2AD
=1/2(BC+kBC)
=(1+k)/2*BC

所以EF与BC共线,且EF的长度为上下底长度和的一半