Question

高中求积分的题，求学霸解答

Answer 1

解：①题，设x=cost，原式=-∫(0,π/2)(sint)^4d(cost)=∫(0,1)(1-x^2)^2dx=[x-(2/3)x^3+(1/5)x^5]丨(x=0,1)=8/15。
②题，原式=x(lnx)^2-2∫lnxdx=x(lnx)^2-2xlnx+2x+C。
③题，由定积分的几何意义，表示的是第一象限、以原点为圆心、半径为1的圆的面积。∴原式=π/4。
④题，原式=∫(0,2)[2x-2+1]dx/(x^2-2x+2)=[ln(x^2-2x+2)+arctan(x-1)]丨(0,2)=π/2。
⑤题，原式=2∫(0,1)ln(x^2+1)dx。
而，∫ln(x^2+1)dx=xln(x^2+1)-2∫x^2/(x^2+1)dx=xln(x^2+1)-2x+2arctanx+C，∴原式=π+2(ln2-2)。
供参考。