高等数学 多元函数积分

红框里是怎么得到的... 红框里是怎么得到的 展开
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匿名用户
2017-09-12
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若du=F(x)dx+G(y)dy的形式,你的做法会是对的,但是一般不能两边同时积分。因为:在du=...dx+..dy的这种结果中,x,y同为变量,而两边同时积分时,所有的积分都是不定积分,所以x与y必有一个被看作常量

第一种做法是答案的做法,实际上就是“凑微分”,利用微分的运算法则和公式。
第二种做法称为偏积分法(有的书上也称为不定积分法),根据du的表达式,得到偏导数αu/αx,αu/αy,然后对x或y进行不定积分。
本题为例,αu/αx=xy+yf(x)=y,两边对x积分,得u(x,u)=xy+φ(y),φ(y)待定,它起的作用就是不定积分的任意常数。
再根据αu/αy=f(x)+y²=x-1+y²,代入u(x,u)=xy+φ(y),得x+φ'(y)=x-1+y²,所以φ'(y)=-1+y²,积分得φ(y)=-y+1/3*y^3+C。
所以,u(x,y)=xy--y+1/3*y^3+C。

第三种做法是曲线积分法,学到后就知道了。
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